ESFERAS DE DANDELIN PDF

Dizahn Dandelin spheres and provide applications of the conics. Views Read Edit View history. The intersection of the cone and the plane is a conic sectionand the point at which either sphere touches the plane is a focus of the conic section, so the Dandelin spheres are eesferas sometimes called focal spheres. Crear un Punto en el Espacio. In geometrythe Dandelin spheres are one or two spheres that are tangent both to a plane and to a cone that intersects the plane.

Author:Dougami Kajikazahn
Country:Austria
Language:English (Spanish)
Genre:Technology
Published (Last):21 December 2007
Pages:223
PDF File Size:9.75 Mb
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ISBN:460-3-74187-470-6
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Las esferas de Dandelin Anuncio NOTAS DE CLASE Las esferas de Dandelin esumen En este trabajo se muestran las posibilidades didacticas de materiales elaborables o proyectables en el aula, respecto al analisis de relaciones por parte de los estudiantes para establecer las caracteristicas definitorias de las curvas denominadas conicas.

El tratamiento del tema se real iza mediante el examen de las propiedades metricas y de tangencia de una superficie arnica con esferas inscritas y el piano de seccionamiento. Este contenido esta contempl ado en la quinta unidad tematica de la propuesta de nuevo programa de estudio para el curso Algebra y Geometria Anal itica II en el Bachillerato del Colegio de Ciencias y Humanidades.

Abstract This paper contains didactical suggestions for instructional materials to-be made or transparencies to aid the students to establish some properties that define the conics.

Metric properties of tangents to a conic surface containing inscribed spheres and a cutting plane are used to examine the mathematical content.

The topic proposed appears as a unit in the new program for Algebra and Analytic Geometry at the high school laved in Colegio de Ciencias y Humanidades, Mexico. Es comun en la practica docente y en los textos de estudio para el nivel bachillerato abordar el estudio de las co:Micas a partir de las definiciones formales de estas curvas, consideradas como lugares geometricos.

Circulo Elipse Parabola Hiperbola Figura 1 Lo anterior puede set comprendido facilmente por los estudiantes a partir de la exhibicion y analisis de algunas representaciones graficas, e incluso, a partir de la ejecucion misma de Los cartes en modelos fisicos. Aunque este proceder formal puede resultar impecable desde el punto de vista matematico, no es lo suficientemente rico pan explicar al estudiante de que manera y de donde surgen las condiciones geometricas que las determinan.

La incorporaci6n de algunos de los aspectos histericos que dieron lugar al surgimiento de estos conceptos puede aportar dementos didacticos valiosos para el tratamiento y comprension de dicho tema, mas alla de la mera referencia anecdOtica, como veremos en este articulo.

Estos problemas clasicos se conocen como 1 trisecciOn del angulo dividir un Angulo cualquiera en tres panes iguales , 2 duplicaciOn del cubo determinar el lado de un cubo con volumen doble de uno dado y 3 cuadratura del circulo obtener un cuadrado de area igual a la de un circulo. En este esfuerzo grandes maternaticos griegos crearon ingeniosos dispositivos mecanicos para el taw —como el mesolabio—, e inventaron curvas —coma las tunas de Hipocrates, la cuadratriz de Hipias—, que superaban en complejidad a los entes geometricos conocidos hasta entonces rectas y circunferencias.

Es en este contexto, para solucionar el problema de la triseccion del angulo, que Menecmo introduce en el siglo IV antes de nuestra era, una triada de curvas obtenidas como secciones de un cono circular. El piano secante o de corte se mantenia perpendicular a una generatriz recta que va del vertice a la curva directriz Figura 2 , de modo que el Angulo en d vertice del cono determinaba la naturaleza de la curia.

Figura 3. Proporciona dos soluciones al problema de la duplicacion del cubo, una mediante la intersecciOn de dos parabolas y otra utilizando la interseccion de una parabola con una hiperbola. Es en la edad de oro de la matematica griega, en el denominado periodo Alejandrino, cuando el estudio de las propiedades de estas curvas cobra su mayor impulso a trues de los trabajos de Apolonio de Pergamo, uno de los tres grandes matematicos de esta epoca los otros dos fueron Euclides y Arquimedes.

Las leyes de Kepler en relaciOn al movimiento planetario, no hubieran podido establecerse sin el conocimiento de tales curvas, pot ejemplo. En el siglo pasado, Germinal Dandelin, matematico Belga, analizo la naturaleza de las cOnicas, y precis6 sus caracteristicas particulares de una manera sencilla y elegante: a partir de la inscripcion de esferas en un cono. En dicho trabajo muestra de que modo la caracterizacion que hacen los griegos de estas curves como secciones de un cono, Sc corresponde con las definiciones que actualmente utilizamos en Geometria Analitica.

El punto central de sus deducciones se apoya en la igualdad de las tangentes a una esfera desde un punto exterior Figura 4. Este resultado deriva de los siguientes hechos: 1 tres puntos distintos son coplanares 2 un plano y una esfera se intersectan en una circunferencia y 3 son iguales las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia Figura 5.

Figura 4 Figura 5 Examinemos ahora cada cada una de estas curvas como secci6n de un cono utilizando las esferas de Dandelin. Incluiremos dentro de las conicas a la circunferencia, como es usual en los tratamientos modemos. Comenzaremos con dicha curva por su simplicidad. Cuando la curva de interseccion del cono con el piano secante es una circunferencia, puede inscribirse una esfera por encima del plano de corte y este y aquella son tangentes precisamente en el centro de la circunferencia Figura 6.

Identica situacien se obtiene cuando una esfera se inscribe por debajo del piano de corte Figura 7. Ambos casos pueden resumirse en uno solo Figura 8. Esta situaciOn sugiere estudiar, desde la misma perspectiva, la curva obtenida al inclinar el piano pero cortando aCm todas las generatrices del cono : la elipse Figura 9. El punto D es el punto en el pie de la perpendicular desde P a la recta d. Tal generatriz constituye la intersecciOn del cono con el piano tangente paralelo al de la parabola.

Esta es, claramente, la propiedad que define a esta curva. Es conveniente mostrar al estudiante las situaciones en que las curvas degeneran en puntos o rectas, con el fin de completar la interpretacion geometrica de los casos que apareceran posteriormente con la aplicacien de los metodos algebraicos: a Circunferencia o eine nulas b Parabola degenerada c Hiperbola degenerada Figura 12 Figura 13 Figura 14 El piano corta al cono selo en un punto.

El piano es tangente at cono a lo largo de una generatriz. El piano secciona al cono en dos rectas que se cortan en el vertice. Para ello, como se seftal6 al inicio de este trabajo, puede recurrirse a modelos tridimensionales, construidos pot los mismos alumnos con materiales sencillos.

Representar esto en un diagrama de ccirte. Visualizar mediante un diagrama de corte. Figura 15 Figura 16 2. Es Mil representar esto en perspectiva. Para esto deberan analizar el comportamiento de las tangentes a una circunferencia, realizando un corte longitudinal que seccione al cono pasando per el vartice y el diametro en la base Figura a , la propiedad de peipendicularidad de los radios en el punto de tangencia conlleva el paralelismo de las tangentes en los extremos del diametro.

Figtira 21 Otra actividad adicienal podria ser el analisis dinamico de las pOsiciones de las tangentes y puntos de tangencia en una circunferencia, trazadas desde un punto exterior Figura 22 a medida que: i Este se aproxima a aquella hasta Ilegar at caso I imite de coincidencia de los dos puntos de tangencia y obtenci6n de una sola tangente.

Estos recursos diclacticos muestran una forma de abordar con materiales modestos y accesibles —tanto para los estudiantes como panel profesor—, un importante t6pico de estudio. Este aparece actualrnente en la propuesta de nuevos programas de estudio pan el bachillerato del Colegio de Ciencias y Humanidades.

El bosquejo expuesto para su desarrollo exhibe Las posibilidades educativas de este planteamiento, al igual que la congruencia y continuidad del mismo con respecto a los contenidos geometricos contemplados en otros cursos donde se introduce el estudio de algunos sOlidos, en especial del cono y la esfera.

I, Barcelona, Espana, Gedisa, S. El autor desea expresar su agradecimiento a Martin Escamilla Carmona por su valiosa colaboraciOn en la elaboracion de los dibujos que aparecen en este articulo. Documentos relacionados.

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Category:Dandelin spheres

G Keywords O This paper shows a prototype created with GeoGebra for an easy visual demonstration of the ellipse defined as locus, using the inner spheres which are tangent to the cone and the plane that generates the ellipse. These spheres receive the name of Dandelin spheres. This prototype can help teachers who teach subjects such as analytic geometry. Cono y secciones. Esferas de Dandelin A marzo de R Vol. Esferas de Dandelin. Wikipedia, 3.

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